Scholar’s Advanced Technological System ระบบปั้นอัจฉริยะ - ตอนที่ 1087 ทฤษฎีแรงจูงใจ

ภายในห้องกิจกรรมของห้องสมุด

ลู่โจวกำลังยืนอยู่หน้ากระดานไวท์บอร์ดที่ถูกเขียนไว้เพียงครึ่งเดียว เขาวางปากกาลงและถอยหลังสองก้าวแล้วพูดขึ้น

“…หากเราต้องการรวมเรขาคณิตและพีชคณิตเข้าด้วยกัน เราต้องเปลี่ยนมุมมองของตัวเลขและรูปร่าง เราจำเป็นต้องมองหาความคล้ายคลึงกันระหว่างแนวคิดนามธรรมของพวกมัน”

เฉินหยางยืนอยู่ข้างๆ กับลู่โจว หลังจากครุ่นคิดอยู่ไม่นาน เขาก็พูดขึ้นทันที

“เหมือนกับโปรแกรมของแลงแลนด์ใช่ไหม?”

ลู่โจวกล่าวอย่างจริงจังว่า “ไม่ใช่แค่โปรแกรมของแลงแลนด์เท่านั้น แต่ยังรวมถึงทฤษฎีแรงจูงใจด้วย หากเราต้องการแก้สมการนี้ เราต้องหาความสัมพันธ์ระหว่างทฤษฎีโคโฮโมโลยีต่างๆ”

จริงแล้วๆ นี่เป็นสมการทั่วไป

การเชื่อมโยงระหว่างทฤษฎีโคโฮโมโลยีต่างๆ ถูกแบ่งออกเป็นการคาดเดาและข้อเสนอทางคณิตศาสตร์ที่ยังไม่ได้แก้เป็นจำนวนนับหมื่นหรือหลายล้าน

และการคาดเดาของฮ็อดจ์ซึ่งเป็นสมการที่ยังไม่ได้แก้ไขในด้านเรขาคณิตเกี่ยวกับพีชคณิตก็เป็นหนึ่งในตัวอย่างที่มีชื่อเสียงที่สุด

แต่มันก็น่าสนใจพอสมควร แม้ว่าจะมีการคาดเดายากๆ มากมายที่ขวางทาง แต่ก็สามารถพิสูจน์ทฤษฎีแรงจูงใจได้โดยไม่ต้องพิสูจน์การคาดเดาอื่นๆ

มันคล้ายกับสมมติฐานของรีมันน์กับสมมติฐานทั่วไปของรีมันน์เกี่ยวกับฟังก์ชันดิริชเลต

“…จากภายนอกแล้ว ดูเหมือนว่าเรากำลังค้นคว้าสมการการวิเคราะห์ที่ซับซ้อน แต่ในความเป็นจริงมันยังเป็นสมการที่เกี่ยวกับสมการเชิงอนุพันธ์ย่อย เรขาคณิตเกี่ยวกับพีชคณิต และโทโพโลยีอีกด้วย”

ลู่โจวจ้องไปที่ไวท์บอร์ดและกล่าวว่า “กลยุทธ์ที่ดีคือการหาปัจจัยที่เป็นนามธรรมที่เกี่ยวข้องกับตัวเลขและรูปร่าง เราเริ่มต้นด้วยความสัมพันธ์ระหว่างชุดของทฤษฎีโคโฮโมโลยี เช่น ทฤษฎีบเคเนธ และความเป็นคู่ของพอยน์แคร์ เรายังใช้วิธีนี้กับแอล แมนิโฟลด์บนระนาบเชิงซ้อนได้ ตามที่ผมแสดงให้คุณเห็นก่อนหน้านี้”

ลู่โจวเหลือบมองที่เฉินหยางซึ่งยืนอยู่ข้างเขา เขากล่าวต่อว่า “ผมต้องการทฤษฎีที่สร้างจากทฤษฎีคลาสสิกของโคโฮโมโลยีแบบหนึ่งมิติ ซึ่งเป็นทฤษฎีบทอาเบล จาโคบี

“การใช้ทฤษฎีนี้ เราจะสามารถศึกษาการสลายตัวของผลรวมโดยตรงในทฤษฎีแรงจูงใจและเชื่อมโยง H(v) กับแรงจูงใจที่ลดไม่ได้ได้“

“ผมวางแผนที่จะทำสิ่งนี้ด้วยตัวเอง แต่มีสิ่งสำคัญอื่นๆ ที่ฉันต้องไปทำก่อน ผมวางแผนที่จะเสร็จสิ้นทฤษฎีการรวมแรงครั้งใหญ่ภายในสิ้นปี ดังนั้นคุณจะรับผิดชอบในส่วนนี้”

เฉินหยางเงียบไปครู่หนึ่งก่อนจะพูดว่า “ฟังดูน่าสนใจ…หากการตีความของผมถูกต้อง ถ้าเราพบทฤษฎีนี้ละก็ มันจะช่วยไขการคาดเดาของฮ็อดจ์ได้”

ลู่โจวพยักหน้าและพูด

“ผมไม่แน่ใจว่ามันสามารถแก้การคาดเดาขอฮ็อดจ์ได้หรือเปล่านะ แต่มันจะเป็นแรงบันดาลใจให้ค้นคว้าเกี่ยวกับการคาดเดาของฮ็อดจ์ต่อไป”

“ผมเข้าใจ” เฉินหยางพยักหน้าและกล่าวว่า “ผมจะลองดู…แต่ไม่รับประกันว่าจะพิสูจน์สมการนี้ได้เร็วนี้ๆ นะ”

“ไม่เป็นไร นี่ไม่ใช่สิ่งที่จะทำได้ในเวลาสั้นๆ ผมไม่รีบอยู่แล้ว” ลู่โจวยิ้มแล้วพูดว่า “แต่คำแนะนำของผมคือให้หาคำตอบให้ผมภายในสองเดือน ถ้าไม่มั่นใจก็บอกล่วงหน้า ผมทำเองได้”

เฉินหยางส่ายหัว

“มันน่าจะใช้เวลาไม่เกินสองเดือน หรือไม่ก็สองสัปดาห์น่าจะเพียงพอแล้ว”

เฉินหยางพูดอย่างมั่นใจและไม่สงสัยอะไร เครื่องมือทางคณิตศาสตร์มีอยู่แล้ว และลู่โจวยังให้แนวคิดแก่เขาในการแก้สมการ

งานแบบนี้ไม่ต้องการการคิดนอกกรอบหรือความคิดสร้างสรรค์ แต่ต้องการเพียงการทำงานหนักเท่านั้น

และเขามีความขยันมากพอ

ลู่โจวมองไปที่เฉินหยางและพยักหน้า เขาเอื้อมมือออกไปแล้วตบบ่าหลิวเจิ้งเหวิน

“โอเค ผมเชื่อใจคุณนะ!”

…

หลังจากที่เฉินหยางจากไป ลู่โจวก็กลับไปที่ห้องสมุดและนั่งลงบนเก้าอี้ตัวเอง เขาพลิกดูกองวิทยานิพนธ์บนโต๊ะและอ่านต่อไปขณะเขียนร่างจดหมายพร้อมๆ กัน

เมื่อพิจารณาจากมุมมองภาพรวมแล้ว การพัฒนาเรขาคณิตเกี่ยวกับพีชคณิตสามารถแบ่งออกเป็นสองทิศทางหลัก หนึ่งคือโปรแกรมแลงแลนด์และอีกอันคือทฤษฎีแรงจูงใจ

สาระสำคัญของโปรแกรมแลงแลนด์คือการสร้างความเชื่อมโยงระหว่างส่วนที่ดูเหมือนไม่เกี่ยวข้องกันในวิชาคณิตศาสตร์

ในทางกลับกันทฤษฎีแรงจูงใจเป็นที่รู้จักน้อยกว่าเมื่อเปรียบเทียบกับโปรแกรมแลงแลนด์

บทความที่ลู่โจวกำลังอ่านนั้นเขียนโดยศาสตราจารย์โวย์วอดสกี ผู้เชี่ยวชาญด้านเรขาคณิตเกี่ยวกับพีชคณิตที่มีชื่อเสียง

เขาเป็นชาวรัสเซียจากสถาบันการศึกษาขั้นสูงพรินซ์ตันเสนอแรงจูงใจประเภทที่น่าสนใจ

มันเป็นสิ่งที่ลู่โจวต้องการพอดี

“…แรงจูงใจเป็นพื้นฐานของตัวเลขทั้งหมด”

ลู่โจวพึมพำกับตัวเองขณะที่เขียนกระดาษเพื่อตรวจสอบการคำนวณวิทยานิพนธ์

ตัวอย่างเช่น ถ้าเรามีตัวเลข n, n ในฐาน 10 คือ 100, n ในฐาน 2 คือ 1100100, n ในฐาน 8 คือ 144

“การแสดงออกของมันขึ้นอยู่กับว่าเราเลือกที่จะนับในฐาน 2 ฐาน 8 หรือฐาน 10 ทั้งหมดสอดคล้องกับตัวเลข n เพียงเขียนในรูปแบบต่างๆ ของนิพจน์เท่านั้น”

“N มีความหมายพิเศษ”

“มันไม่ใช่แค่ตัวเลขที่เป็นนามธรรม แต่เป็นแนวคิดทางคณิตศาสตร์มากกว่า”

“ทฤษฎีแรงจูงใจเป็นเรื่องเกี่ยวกับชุดของ n ที่นับไม่ได้ ชื่อ N ”

“เนื่องจากรากของนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ทั้งหมด N สามารถจับคู่กับชุดของช่วงใดก็ได้ ไม่ว่าจะเป็น [0, 1] หรือ [0, 9]…”

อันที่จริงนี่เป็นหนึ่งในสมการหลักของเรขาคณิตเกี่ยวกับพีชคณิต ซึ่งเป็นสมการของตัวเลขที่เป็นนามธรรม

มนุษย์ได้ ‘แปล’ ภาษาคณิตศาสตร์ต่างๆ ผ่านระบบสัญกรณ์ต่างๆ การแสดงออกทางนามธรรมเป็นภาษาที่แท้จริงเพียงภาษาเดียวของจักรวาล

คนที่ใช้คณิตศาสตร์ในชีวิตประจำวันอาจไม่เคยตระหนักถึงสิ่งนี้เลยด้วยซ้ำ หลายศาสนาและวัฒนธรรมที่ให้ตัวเลขมีความหมายพิเศษ ไม่ได้เข้าใจจริงๆ ว่า ‘ภาษาของจักรวาล’ คืออะไร

ผู้คนอาจถามว่าอะไรคือจุดที่ทำให้การคำนวณซับซ้อนขึ้น แต่การแยกตัวเลขออกจากการตัวแสดงแทนจะช่วยให้ผู้คนค้นคว้าความหมายเชิงนามธรรมที่อยู่เบื้องหลัง

นอกจากการวางรากฐานทางทฤษฎีสมัยใหม่ของเรขาคณิตเกี่ยวกับพีชคณิตแล้ว ก็อตเทนดิ๊กยังเสนอทฤษฎีแรงจูงใจอีกด้วย

ทฤษฎีนี้เปรียบเสมือนสะพานที่เชื่อมโยงทฤษฎีโคโฮโมโลยีต่างๆ กับพีชคณิตและเรขาคณิต

มันเหมือนกับท่วงทำนองหลักของซิมโฟนี ทฤษฎีโคโฮโมโลยีที่เคยมีสามารถดึงธีมออกจากเมโลดี้หลักและปรับเปลี่ยนได้โดยการเปลี่ยนเมเจอร์ ไมเนอร์ หรือแม้แต่จังหวะ

“…ทฤษฎีโคโฮโมโลยีก่อตัวเป็นวัตถุทางเรขาคณิต วัตถุเรขาคณิตนี้สามารถค้นคว้าได้โดยใช้กรอบงานของเขา”

“…เข้าใจแล้ว”

ลู่โจวมีความตื่นเต้นในดวงตาของเขา และทันใดนั้นเขาก็หยุดเขียน

เขารู้สึกว่าเขาใกล้จะถึงเส้นชัยแล้ว

ความรู้สึกแบบนี้มาจากส่วนลึกที่สุดของจิตวิญญาณของเขา และมันเป็นสิ่งที่ดีที่สุดที่เขาเคยรู้สึก…

……………………